Soit l’équation : x^2 - 4x - 5 = k où k est un nombre réel. Résoudre cette équation dans R ( on discutera en fonction des valeurs de k.

bonjour

x²-4x-5 = k

x²-4x-(5 -k)  = 0

avec  :  

a = 1   ; b = -4  et   c =  (5-k)

Lors qu'une équation n'a pas de factorisation évidente, il faut passer par la méthode de résolution par discriminant.  

Calculons le discriminant .

Delta :  b² -4 *a*c

Remplaçons nos lettres par les valeurs que nous avons .  

Delta =  (-4)² - 4 ( 1 )* ( - (5-k)) )  

Delta  =  16 - 4 ( 1 *  (- (5-k))   )

Delta =  16  - 4  ( 1 *  (-5 +k) )

Delta =   16 - 4  ( -5+k)

Delta =  16 +20 - 4k

Delta =  36 -4k

Si on veut que  l'équation aie au moins  une solution dans R  il faut  un discriminant positif ou nul , donc que  36-4k ≥ 0

                                                                    -4k ≥ -36

                                                                      k ≤ -36/-4

                                                                        k ≤  9  

Conclusion :  L'équation admet au moins une solution dans R pour k ∈ ] -infini ;  9 ]

Précisons :  l'équation admettra une solution pour k = 9 et deux solutions si k est inférieur à 9